Почему надо безусловно помнить об условных вероятностях?

  • 9 марта 2015
  • kомментарии
Правообладатель иллюстрации Reuters
Image caption Несмотря на выводы математиков, люди продолжают ходить в казино и покупать лотерейные билеты

Я думаю, каждый из вас рано или поздно, пристегиваясь в такси, слышал что-нибудь вроде: "А мой приятель вот так вот пристегнулся, и его ремнем задушило." Я вот слышал эту "городскую легенду" несколько раз. И предлагаю сегодня об этом поговорить.

Конечно, мы не будем детально обсуждать все преимущества ремней безопасности. Мы будем говорить о великом математике, которого звали Томас Байес, и о том, что лучше всего вспоминать, когда вам говорят "один мой знакомый", "я сам видел" или что-то вроде того.

Итак, кто такой Томас Байес?

Томас родился в начале XVIII века. Предположительно, в графстве Хердфордшир. Точная дата его рождения не известна, но мы точно знаем, что в 1719 году он стал студентом Эдинбургского университета, где, как тогда было принято, он изучал теологию и, заодно, логику. Преуспел он, судя по всему, и в той, и в другой дисциплине. Интересно, что при жизни он опубликовал две работы.

Сила идей Байеса именно в том, что он открыл для нас новый способ мышления. Саму концепцию вероятности в том смысле, в котором мы понимаем ее сейчас.

Одна носила теологический характер, что легко понять из ее названия: "Благорасположение Бога или попытка показать, что конечной целью Божественного Замысла является благополучие Творения".

Во второй работе Байес защищал формализм, предложенный Ньютоном, от критики Джорджа Беркли. Работа эта не имела никакого отношения к тем идеям, за которые Байеса помнят до сих пор, но, судя по всему, показалась современникам достаточно яркой. Другого объяснения тому, что 4 ноября 1742 года Томас стал членом Королевского научного общества, у нас нет. Так или иначе, мы бы мало что знали о Томасе Байесе и мире вообще, если бы не его друг, Ричард Прайс, к которому попали более поздние результаты работы Байеса. Их он и представил в Королевском научном обществе через два года после смерти автора, в 1763 году.

Магия выкладок

Главная идея доклада, сделанного Прайсом на основе работ Байеса, формулируется... Но прежде чем перейти к главному, напомню, что если вы ищете оригинальную идею для татуировки или прикольный элемент дизайна, возьмите эту формулу на заметку, она того стоит. А если вас пугают формулы, то давайте я объясню на словах, что имеется в виду.

Пусть у нас есть два события/факта/параметра/гипотезы, к примеру, такие: А = "Человека задушило ремнем безопасности во время аварии", В = "Человек пристегнулся, садясь в машину". Тогда P(A|B), так называемая условная вероятность А при условии В, - это вероятность того, что человека задушило ремнем, при условии, что он пристегнулся, а P(B|A) - это вероятность того, что человек пристегнулся, при условии, что мы знаем, что его задушило ремнем. Для простоты предположим, что вторая вероятность P(B|A) равна 1, то есть, все, кого задушило ремнем в ходе автомобильной аварии, были пристегнуты.

Тогда формула Байеса для этой ситуации будет выглядеть так:

P(A|B) = P(A)/P(B)

Давайте так перепишем, если держать А и В в голове совсем трудно:

P(задушило|пристегнулся) = P(задушило)/P(пристегнулся)

Личный опыт (или отсылка к нему), как правило, оказывается для нас куда убедительнее математических выкладок. И в некоторых случаях это "наследие предков" может очень дорого стоить.

А вот тут начинается магия! Смотрите, как мы можем минимизировать вероятность погибнуть в такой жуткой ситуации? Очевидно, хорошо бы, чтобы или числитель был поменьше или знаменатель побольше. На числитель повлиять мы не в силах, знаем просто, что он мал (найдите любую статистику аварий и убедитесь, что ремни редко душат людей, можете считать это "домашним заданием"), а вот знаменатель - наше дело. И если мы всегда пристегиваемся, то, как бы парадоксально это не звучало, вероятность быть задушенным ремнем - минимальна! Вам есть о чем поговорить с заботливым таксистом!

Вообще, конечно, сила идей Байеса именно в том, что он открыл для нас новый способ мышления. Саму концепцию вероятности в том смысле, в котором мы понимаем ее сейчас.

Личный опыт убедительнее?

Человек очень плохо оценивает вероятности, плохо понимает их законы. Мы сформировались в условиях, когда собрать большой массив данных о чем-либо было трудно: люди жили недолго, были малочисленны, вызовы окружающего мира носили, прямо скажем, сиюминутный характер.

В таких условиях выживали те, кто мыслил в категориях "причина" - "следствие" и делал быстрые выводы: "Грым вчера поел красных ягод, сегодня ему плохо, дело в красных ягодах, я не буду их есть и не буду давать их своим детям". Идея, что условный Грым пренебрегал гигиеной больше, чем другие члены племени, и поэтому у него в принципе с большей вероятностью может болеть живот - на порядок более сложная.

Такие идеи на этапе формирования нашего мышления, судя по всему, реже оказывались востребованными среди наших далеких предков. Именно поэтому в мире до сих пор существуют лотереи, кто-то из нас ходит в казино, а таксисты охотно рассказывают нам истории про "одного пассажира", "брата" или "вот прошлой ночью сам видел".

Личный опыт (или отсылка к нему), как правило, оказывается для нас куда убедительнее математических выкладок. И в некоторых случаях это "наследие предков" может очень дорого стоить. Так что вспоминайте почаще преподобного Байеса.