如何用数学破解迷宫?

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从HBO连续剧《西部世界》(Westworld)到重新回归荧屏的英国类型连续剧《迷宫传奇》(The Crystal Maze),迷宫已经成了时下流行的影视剧主题元素。最早的迷宫出现在1000多年前,里面住着人身牛头怪(Minotaur)的魔幻迷宫在古希腊神话中是一个非常重要的所在。

迷宫(maze)和魔幻迷宫(labyrinth)之间的区别在哪里?有些人认为两个词指的是同一件事物,但实际上魔幻迷宫里只有一条蜿蜒曲折的路线,沿着这条直径越来越小的螺旋线一直走就能返回起点;而迷宫则有多条路线,在给探险者多个选择的同时也会让你彻底迷失方向。

尽管迷宫可以人工设计,但是计算机科学家和数学家们却一直对自动迷宫设计算法情有独钟。算法分为两类:其中一类算法从单一而受限的空间开始,然后用墙(和门)将其分隔,形成尺寸更小的亚空间。另一类算法则首先建立由大量互不连通的房间组成的空间,然后拆掉墙壁,在房间之间形成路线/通道。

大逃脱

逃脱迷宫有技巧可循,但是首先你必须搞清楚要从中逃脱的是哪一类迷宫。大多数逃脱术都只针对"简单"的迷宫——指那些不能通过桥或"通道环路"(能够返回迷宫起点的环形通道)抄近路的迷宫。

对于简单迷宫,很多人都知道的逃脱方法是"沿墙走"。你只需沿着左手或右手方向一直顺墙走而不调换方向,手一直保持扶着墙,最终你就会逃脱迷宫。其中的原理在于:假设把迷宫内的墙拉直而消除所有拐角,最终都会形成环形结构,环形的一部分必定是迷宫的最外侧边缘。然而,如果迷宫的起点和终点都位于迷宫中心位置的话,这种逃脱术就无法奏效了。

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某些迷宫则故意提高了逃脱的难度,例如位于德文郡Escot花园的海滨迷宫就建有不少于5座桥,因此它根本不属于"简单迷宫"之列。

Trémaux算法是逃脱迷宫的另一个方法。这种算法可应用于所有类型的迷宫。

现在,假想你就像格林童话《糖果屋》中的韩塞尔(Hansel)与葛雷特(Gretel)一样在迷宫中探索出口,同时在身后撒上面包屑痕迹作为标记。必须记住以下规则:如果到达一个以前从未到过的路口(这里前方路上没有面包屑),就随机选择一个方向。沿着这个方向到达另一个路口,其中一条路线你曾经走过,而另一条路你没走过,就选择没走过的路线。如果在走过两次和走过一次的两条路线中间选择,就选只走过一次的路线,然后在身后留下第二条面包屑痕迹。最重要的一条规则是:绝对不要走留有两条面包屑痕迹的路线。这个方法可以保证你最终一定能走出任何迷宫。

生活中的迷宫

研究迷宫逃脱问题有什么用?显然,建筑学家和城市设计规划家都不希望设计出让像迷宫一样让人迷惑的路网。走迷宫很有趣,但我们显然不希望在日常生活中碰到它。

1980年代,建筑理论学家比尔·西里尔(Bill Hillier)发现,大多数存在社会问题的住宅看上去都有着迷宫般的平面结构。这就提出了一个理论问题:如何衡量一个地方是否具有"迷宫性"呢?

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Image caption 我们逃脱迷宫、还原魔方的方法有助于保持老年人大脑健康(图片来源:iStock)

为了解答这个问题,西里尔开发了"可理解性"这一测量概念。"可理解性"是指,从迷宫/住宅/小区其中的一点能看到的景物,以及从该地区其他地点抵达改点难度之间的关系。"可理解性"的分值从0到1:得到高分(高于0.5分)的环境具有较高的可理解性,易于让人了解并定位方向,并且让人乐于住在这里——例如伦敦市内的Barnsbury。

与之相反,可理解性差的地方会让人陷入迷惑、难以定位方向、像进入迷宫一样无所适从——例如伦敦的巴比肯(Barbican Estate)。尽管巴比肯在建筑设计上有值得称道之处,但这里却空间层次混乱。来访者如果不沿着路上的黄线行走,很容易迷失方向。

手机游戏《航海英雄》(SeaHeroQuest)在设计过程中采用了"可理解性"概念确定游戏不同关卡的难度。这款游戏用于判断人们的方向定位能力,从而推动对痴呆症的研究进展。

我们反向应用了可理解性这一概念,设计出"迷宫性"更强或更弱的游戏关卡,从而挑战不同玩家的游戏技巧。由此,迷宫设计中的数学原理被成功应用于当代用于防治痴呆症的手机App,古希腊神话中的情节变成了现实。

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