Pourquoi les mathématiques sont si complexes

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Image caption Les mathématiques sont-elles réelles ?

Les chiffres sont à l'origine de certaines des découvertes scientifiques les plus importantes et ont changé la façon de voir l'univers.

Mais notre réalité physique est-elle aussi mathématique ?

Pense à Neptune. Pourquoi ? Parce qu'à première vue, elle est invisible. Même avec un bon télescope.

Située à 4,3 milliards de kilomètres de la Terre, la huitième planète de notre système solaire ne semble guère plus qu'un petit point blanc dans notre ciel.

C'est pourquoi les planètes les plus proches de la Terre, comme Vénus ou Mars - qui brillent si fort dans le ciel nocturne - nous étonnent depuis l'antiquité.

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En revanche, nous n'avons appris l'existence de Neptune qu'au XIXe siècle.

Sa découverte n'en est pas moins doublement significative.

Uranus et Neptune

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Image caption Neptune a été découvert par des calculs plutôt que par l'observation

Ce n'était pas seulement que nous avions trouvé un nouveau voisin, mais "Neptune a marqué l'exploration du système solaire, parce qu'on ne l'a pas trouvé en regardant le ciel avec nos yeux ou à l'aide d'un télescope", dit Lucie Green, astrophysicienne au Mullard Space Science Laboratory du University College London.

Neptune a été trouvé grâce aux mathématiques.

Au XIXe siècle, les lois de la gravité de Newton étaient bien comprises et, avec elles, les orbites des planètes autour du Soleil pouvaient être prédites.

Sauf celle d'Uranus, dont on a constaté qu'elle s'écartait légèrement de la trajectoire prévue.

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À l'époque, c'était la planète la plus éloignée du Soleil et certains scientifiques spéculaient que les lois de la gravité de Newton pourraient ne pas fonctionner à une si grande distance.

Mais d'autres s'appuyaient sur les mathématiques, ce qui les amenait à penser qu'il devait y avoir un objet massif à proximité modifiant le chemin d'Uranus autour du Soleil.

"Ils ont calculé quoi, comment et où. Et lorsqu'ils ont tourné le télescope vers la zone indiquée par les mathématiques, la planète a été trouvée", explique Green..

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Image caption Les astronomes ont réalisé qu'une autre planète rôdait grâce à une déviation de l'orbite prévue d'Uranus.

La découverte de Neptune est entrée dans l'histoire comme preuve que les mathématiques ne sont pas inventées, mais existent.

Et c'est précisément ce qui a intrigué un auditeur de l'émission CrowdScience de la BBC, Sergio Huarcaya, du Pérou.

"De Galilée, qui pouvait prédire la vitesse d'une balle descendant une pente, à, par exemple, l'existence du boson de Higgs, qui a été prédit avec les mathématiques avant que la particule ne soit trouvée dans la réalité, ce pouvoir de prédire l'existence des choses qui n'ont pas été vues me semble incroyable," écrit-il.

"Les mathématiques sont-elles un modèle, une description, une métaphore de la réalité... ou sont-elles la réalité elle-même ?"

Sergio n'est pas seul.

Les philosophes réfléchissent à ces idées depuis des milliers d'années.

Et la question reste une cause de profond désaccord.

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Il n'y a pas de gâteau négatif

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Image caption Vous avez du gâteau, ou pas de gâteau du tout.

Il est presque certain que les humains ont commencé à jouer avec les mathématiques pour des raisons matérielles, comme compter et mesurer les choses, alors commençons par là.

Prenons l'exemple d'un gâteau.

Les mathématiques peuvent nous dire toutes sortes de choses sur ce gâteau : ses dimensions, son poids, comment le diviser - tout cela est très tangible.

Et le gâteau peut nous montrer que les mathématiques peuvent aller là où la réalité n'arrive pas.

Si vous mangez un tiers du gâteau, il vous en reste deux tiers.

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Pour l'instant, tout va bien. Et si vous continuez à manger un autre tiers et un autre, vous n'avez plus rien.

"Nous décrivons les contours mentaux des anciens", dit Alex Bellos, auteur de livres mathématiques.

"Ils ont utilisé des maths pratiques pour mesurer et compter, et ils n'ont pas eu le temps de faire des nombres négatifs."

Si votre concept de la réalité consiste en des objets que vous pouvez mesurer ou compter, il est difficile d'imaginer quoi que ce soit de moins que zéro.

De la dette et des éléments négatifs

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Image caption L'avènement de l'argent nous a fait penser à des chiffres négatifs beaucoup plus naturellement

Dès que vous mangez les miettes du gâteau, c'est fini : il n'y a pas de gâteau négatif.

Cependant, dit Bellos, il y a un domaine dans lequel on utilise des chiffres négatifs et il est tout à fait naturel d'y penser.

Bellos parle d'argent : "tu peux avoir de l'argent, mais tu peux aussi devoir de l'argent."

"La première utilisation pratique de chiffres négatifs était dans le contexte des comptes et des dettes."

Si vous devez 5 $ et que je vous donne ce montant, vous aurez 0 $. C'est une réalité qui commence par des chiffres négatifs.

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Aujourd'hui, il est difficile de penser aux mathématiques sans elles, et pas seulement en termes d'endettement.

Jusqu'à présent, nous restons enracinés dans la réalité.

Mais il y a des choses étranges qui arrivent quand on joue avec des chiffres négatifs.

Énigme gigantesque

Image caption Cette équation mathématique représente une énigme

Si vous en multipliez deux, le résultat est un nombre positif.

Donc -1 x -1 = 1, et cela apporte avec lui une véritable énigme.

"Si vous commencez à jouer avec des équations qui ont à la fois des nombres négatifs et positifs, vous y arriverez :

"Qu'est-ce que c'est que ça ? Comment allez-vous trouver quelque chose qui, à l'équerre, équivaut à -1 ! s'exclame Bellos.

"Il ne peut s'agir d'un nombre positif, parce que lorsque vous les quadrillez - ou les multipliez par eux-mêmes - le résultat est un nombre positif ; il ne peut pas non plus s'agir d'un nombre négatif, pour la même raison ", dit-il.

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"Quand on en est arrivé là pour la première fois, les gens ont trouvé ça absurde."

Mais, peu à peu, les mathématiciens ont dit : "Oui, c'est absurde, mais quand je l'utilise dans mon travail, j'obtiens la bonne réponse. Laissons aux philosophes le soin de déterminer ce que cela peut être. Nous, les mathématiciens, nous avons besoin de réponses et, si cela nous aide à les trouver, c'est très bien."

Et nous venons de quitter la réalité…mais, en tout cas, les mathématiques servent encore à l'expliquer.

L'imaginaire

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Image caption Il y a le mot "trois" et le symbole "3", mais le nombre, comme tous les autres, est abstrait.

La racine carrée de -1 est appelée un "nombre imaginaire", ce qui est un nom terrible parce qu'il donne l'impression que les mathématiques étaient réelles et sont soudainement devenues imaginaires," déclare Bellos.

"Non, les mathématiques sont imaginaires depuis le début. Nous pouvons parler de trois gâteaux, mais ce que nous voyons, ce sont des gâteaux, nous ne voyons pas "trois" : trois est une abstraction", souligne-t-il.

"C'est la même chose que quand on a des nombres imaginaires. Cela semble complètement fou, mais une fois que vous commencez à comprendre comment ils s'adaptent, c'est tellement logique. Et le comportement de ce que nous appelons des nombres réels, avec des nombres imaginaires - à ce que nous appelons des nombres complexes, est un langage brillant pour décrire des choses comme la rotation."

"De nos jours, la racine carrée de -1 est aussi réelle que -1 elle-même, même si elle est aussi difficile à comprendre pour nous que l'était -1 pour nos ancêtres".

Ne vous inquiétez pas

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Image caption Si les mathématiques sont un outil conçu pour nous aider à comprendre la réalité, pourquoi sommes-nous surpris lorsque cela se produit ?

Si vous êtes perdu, ne vous inquiétez pas - continuez à lire et tout sera vraiment clair.

Les nombres complexes permettent de trouver des solutions à certaines équations qui n'ont pas de solutions en nombres réels.

Ils sont incroyablement pratiques pour comprendre la réalité et fonctionnent comme un outil dans presque tout ce qui implique une rotation ou des vagues.

Ils sont utilisés en génie électrique, dans les radars, dans les images médicales et peuvent être utilisés pour comprendre le comportement des particules subatomiques.

Mais comment se fait-il que quelque chose qui semble n'exister que dans les rêves mathématiques finisse par être si utile dans le monde réel ?

Pour certains, comme le physicien hongrois du XXe siècle Eugene Wigner, c'est presque un miracle.

Wigner a fait référence à des nombres complexes dans un essai influent de 1960 intitulé "The unreasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences" (L'efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences physiques).

Efficacité déraisonnable

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Image caption La géométrie non euclidienne nous permet de voir des formes jusqu'alors uniquement visibles dans l'esprit des mathématiciens - des objets en quatre, cinq ou six dimensions, par exemple

Mais si les mathématiques sont conçues par les humains précisément pour décrire la réalité, n'est-il pas logique qu'elles servent à le faire ? Qu'y a-t-il de déraisonnable à cela ?

Tournons-nous vers quelqu'un qui se déplace entre les domaines de la philosophie et des mathématiques : une experte en philosophie de la physique, Eleanor Knox.

"Il est vrai que, si nous avons inventé les mathématiques pour nous aider à comprendre les systèmes physiques, il est très logique qu'il le fasse. Mais les mathématiques ne semblent pas s'être développées de cette façon", explique-t-elle.

"Il y a de nombreux cas où les mathématiciens ont fait quelque chose juste parce qu'ils s'y intéressent, et il s'avère que c'est exactement ce dont on a besoin à un moment donné pour une découverte cruciale en physique.

"Un exemple célèbre est la géométrie non euclidienne", dit Knox, se référant à une branche de la géométrie dans laquelle de nombreux mathématiciens ont travaillé à la fin du XIXe siècle, surtout parce qu'ils trouvaient cela intéressant.

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Sibahle, le génie des maths

"On pensait que notre monde entier pouvait être décrit avec la géométrie euclidienne, celle que l'on apprend à l'école. Les règles pour un angle droit, que les angles d'un triangle totalisent 180 degrés, par exemple."

Les mathématiciens des années 1800 n'étaient pas en train de démolir la géométrie euclidienne.

Ils exploraient simplement, et ont trouvé des structures mathématiques intéressantes.

"Au XXe siècle, alors qu'Albert Einstein avait besoin d'une théorie pour décrire les règles de l'espace et du temps de la relativité générale, ce qui l'aidait était la géométrie non euclidienne - il n'aurait pas réussi sans elle", ajoute Knox.

"Ces jours-ci, nous pensons que le monde a la structure de cette géométrie qui était autrefois étrange, mais aucun des mathématiciens qui ont commencé à travailler sur elle a prédit cette découverte particulière," conclut le philosophe.

De tels cas nous font penser que, si ce n'est miraculeux, le rapport des mathématiques à la réalité est au moins étonnant.

La réalité fondamentale

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Image caption Avec les mathématiques, il est possible d'explorer beaucoup plus loin que nos sens ne le permettent.

Alors que la physique moderne progresse, il est difficile pour ceux d'entre nous qui sommes de simples mortels de comprendre la complexité des mathématiques et l'étrange réalité qu'elles décrivent.

Mais ce n'est peut-être pas surprenant : il n'y a aucune raison pour que la réalité quotidienne que nous pouvons percevoir avec nos sens soit la réalité fondamentale de l'univers.

Ce qui est surprenant, c'est qu'avec les mathématiques, il semble possible d'explorer beaucoup plus que nos sens ne le permettent.

Cependant, dans la recherche d'une réalité fondamentale, les mathématiques atteindront-elles une limite dans leur capacité à la décrire ?

"Le XXe siècle nous a donné deux de nos théories physiques les plus réussies : celle de la mécanique quantique (le monde à l'échelle de l'ultra-petit, des atomes et des sous-atomes) et celle de la relativité générale, dit Knox.

"Il s'avère que faire fonctionner les mathématiques de ces deux théories ensemble est incroyablement compliqué.

"Nous n'avons pas de cadre cohérent pour comprendre comment ces deux théories peuvent exister dans le même monde - comment elles peuvent décrire la même réalité ", poursuit-elle.

"Vous devez faire face à des niveaux de complexité époustouflants sans pouvoir, pour l'instant, relier ce que vous pensez à des expériences."

Cependant, comme nous l'avons vu précédemment, beaucoup de choses ont commencé comme ceci : une idée à la recherche de sa fonction pratique.

Mais peut-être sommes-nous arrivés à une limite ?

"À ce stade, on pourrait peut-être conclure que, jusqu'à présent, nous avons eu beaucoup, beaucoup de chance que les mathématiques décrivent notre univers ", indique Knox.

"Une autre option est de penser que les mathématiques décrivent des plaques du monde, pas son intégralité."

Ou que comprendre le monde dans son ensemble est vraiment compliqué.

Ou que les mathématiques sont diaboliquement compliquées et trop compliquées pour nous, ou que nous ne l'avons pas encore compris mais que nous finirons par le comprendre ", dit-elle.

Une grande différence

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Image caption 1 + 1 = 2 et il n'y a aucun doute à ce sujet....

Peut-être ne devrait-il pas nous surprendre qu'il est parfois diablement difficile de faire coïncider les lois des mathématiques avec les lois de la réalité physique.

Après tout, ce ne sont pas les mêmes.

Comme l'a dit Einstein : "plus ils se réfèrent à la réalité, plus les lois mathématiques deviennent incertaines ; et plus ils sont certains, moins ils se réfèrent à la réalité", explique Knox.

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"Les mathématiques ont une caractéristique particulière : elles sont absolument vraies ou fausses. Si je prouve quelque chose en mathématiques, personne ne peut en douter."

"Les lois physiques ne sont pas comme ça. C'est l'une des grandes distinctions. Nous avons souvent eu tort avec nos lois. Les lois de Newton sont belles, élégantes et dans certains cas valides, mais elles ne sont pas toute la vérité. Il ne fait aucun doute qu'à l'avenir, il sera prouvé que les lois d'Einstein sont également approximatives", prédit le philosophe de la physique.

Découvert ou inventé ?

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Image caption Les anciens égyptiens avaient même une "déesse des maths", connue sous le nom de Seshat

D'où viennent les mathématiques ?

C'est une question pour un mathématicien.

Eugenia Cheng est scientifique en résidence à l'école de l'Art Institute of Chicago.

Elle peut répondre si les mathématiques sont découvertes ou inventées.

"J'ai vraiment l'impression de découvrir des concepts et d'inventer des façons d'y penser. Quand je fais de la recherche abstraite, j'ai l'impression d'errer dans une jungle abstraite à la recherche de choses, puis j'invente une façon de parler et de théoriser à leur sujet pour pouvoir organiser mes pensées et les communiquer, dit-elle.

Cheng travaille dans le domaine de la Théorie des Catégories (parfois appelée "mathématiques des mathématiques"), qui tente de construire des ponts entre différents domaines des mathématiques.

"Qu'est-ce qui est réel de toute façon ?"

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Image caption Quelque chose d'abstrait n'est pas quelque chose d'irréel

Il est difficile de penser à quelque chose de plus abstrait, alors nous lui demandons si elle pense que les mathématiques qu'elle étudie sont aussi liées à la réalité.

"Quand les gens m'interrogent sur la réalité, je veux répondre : qu'est-ce qui est réel de toute façon ?"

"Ce que nous appelons "réalité" sont des hallucinations que nous supposons réelles parce que nous avons tous tendance à les percevoir de la même manière."

"Les gens disent que les chiffres ne sont pas réels, parce qu'on ne peut pas les toucher. Mais il y a beaucoup de choses qui sont réelles mais que je ne peux pas toucher, comme la faim ", illustre-t-elle.

"C'est pourquoi je préfère parler de choses concrètes - celles que nous pouvons toucher et avec lesquelles nous pouvons interagir directement - et de choses abstraites - avec lesquelles nous interagissons dans notre cerveau.

"Les maths sont abstraites, mais une idée abstraite peut être aussi réelle qu'autre chose."

Qu'est-ce qui est réel ?

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Image caption Les nombres sont cachés tout autour de nous

D'une part, on pourrait prétendre que les mathématiques sont la réalité.

Pensez, par exemple, à notre biologie, qui est basée sur la chimie, qui est essentiellement régie par les lois de la physique... et nous en arrivons aux nombres.

Ou pensez au ciel bleu, qui s'explique par les longueurs d'onde de la lumière réfractée... et tout ce qui est des nombres.

Il semblerait que, si vous creusez assez profondément, la réalité physique est mathématique.

Cependant, les mathématiques ne semblent pas être en mesure de nous dire quoi que ce soit de significatif sur certaines des choses les plus importantes dans la vie, comme l'amour, la faim ou la morale.

Nous ne pouvons donc répondre qu'à une seule des questions vraiment importantes avec certitude : peut-être ne trouverons-nous pas de réponses définitives à la question que Sergio Huarcaya a envoyée à la BBC depuis le Pérou.

Eh bien, maintenant nous pouvons dire que nous ne les trouverons certainement pas.

Mais ça valait quand même le coup de regarder.

Si vous avez une question sur les sciences, les mathématiques ou la réalité, vous pouvez l'envoyer à crowdscience@bbc.co.uk

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