¿Es cierto que 4 colores son suficientes para pintar cualquier mapa sin que ningún país vecino tenga el mismo color? ¿Y por qué importa?

Croquis de mapamundi y cuatro lápices de colores
Image caption ¿Cuatro es suficiente?

¿Cuántos colores realmente necesitas para pintar un mapa de manera que ningún país quede con el mismo color?

Es muy probable que nunca te hayas planteado esa pregunta, y que te parezca un tema de interés exclusivo para los cartógrafos.

Sin embargo, ese interrogante, tan simplemente descrito pero tan difícil de probar, fue durante más de un siglo uno de los más difíciles de resolver en matemáticas, y puso a prueba a algunas de las mentes más imaginativas, incluida la del matemático y autor de "Alicia en el país de las maravillas", Lewis Carrol.

Y resulta que, matemáticamente, la respuesta es 4.

Todos o ninguno

El problema del mapa de 4 colores se remonta a 1852, cuando Francis Guthrie, un estudiante de la University College London, observó que cualquier mapa dibujado en papel podía rellenarse con solo ese número de colores sin que quedaran dos regiones vecinas con el mismo tono.

Desesperado por probar su conjetura, se lo contó a su hermano quien le pasó la duda al eminente matemático Augustus DeMorgan.

DeMorgan, incapaz de resolver el problema por sí mismo, se lo expuso a sus colegas, entre ellos el igualmente eminente William Rowan Hamilton.

Mi querido Hamilton,

Uno de mis estudiantes me pidió hoy que le diera la razón para un hecho -que yo no sabía que era un hecho, ni sé aún-.

Dijo que si una figura se divide y sus compartimentos se colorean de manera que los que tengan alguna frontera común queden de colores distintos, 4 colores pueden requerirse pero no más.

Mi pupilo dice que lo adivinó al colorear un mapa de Inglaterra.

Entre más lo pienso, más evidente parece.

El quid de la cuestión es que no es suficiente demostrar que en cientos o incluso miles de millones de mapas se podía lograr el cometido con solo 4 colores, pues si en solo uno la hipótesis fallaba, todo colapsaba.

Era necesario desarrollar un argumento general que probara que podía aplicarse a cualquier mapa, real o ficticio que puedas inventar.

¿5?

En 1879, el matemático inglés Alfred Kempe argumentó que todos los mapas provienen de un grupo finito, o "conjunto inevitable", de mapas "simplificados" y estos se podían colorear con solo 4 colores.

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Image caption ¿5, 6, más???

La prueba de Kempe fue acogida con beneplácito por los matemáticos que consideraron el asunto cerrado.

Pero, en 1890, Percy Heawood, un profesor de Durham, Inglaterra, descubrió una falla en la teoría de Kempe.

Al revisarla parecía que la solución era 5 colores, no 4.

En efecto, con 5 colores definitivamente se puede colorear cualquier mapa sin que ningún vecino tenga el mismo color, pero persistió la duda de si realmente 4 era el número correcto.

Y las mentes científicas no le dan lugar a las dudas.

Un problema seductor

Lewis Carroll lo formuló como un juego entre dos jugadores llamados A y B.

A debe dibujar un mapa ficticio dividido en condados.

B debe colorearlo (o más bien marcar los condados con nombres de colores) utilizando la menor cantidad de colores posible.

Dos condados adyacentes deben tener colores diferentes.

El objetivo de A es forzar a B a usar tantos colores como sea posible.

¿Cuántos puede obligar a B a usar?

El director del Clifton College, que en esa época era notable por poner más énfasis en la ciencia que en los clásicos, presentó el problema como un desafío a los estudiantes:

"Se requiere una buena prueba de 'Por qué 4'. Las soluciones deben ser enviadas al director antes del 1 de diciembre, en 30 líneas de manuscrito y una página de diagramas".

Hasta el obispo de Londres se enganchó: "Creí que lo había resuelto cuando dejé que mi mente vagara durante una reunión. Pero estaba equivocado; todo lo que probé fue las consecuencias del teorema de los 4 colores".

Otros matemáticos intentaron abordar el problema de maneras alternativas e imaginativas.

Una de ellas fue asumir que era falso y ver a dónde llegaba, seleccionando ejemplos conocidos con el llamativo nombre de "criminales mínimos"; otra tuvo que ver con la clasificación de los nudos; hubo quienes involucraron los snarks de la teoría de grafos.

Con cada fracaso de nuevas generaciones de matemáticos, el problema se hacía más famoso y su jerarquía se elevaba.

Fracasos útiles

Se estima que entre matemáticos profesionales y amateur dedicaron más de 10 millones de horas tratando de probar el teorema.

Así que no sorprende que llegase un momento en el que tratar de resolverlo parecía una pérdida de tiempo.

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Image caption Aunque pueda parecer un ejercicio para entretener mentes, solucionar el teorema de los cuatro colores ayudo a diseñar complejas redes de transporte.

No obstante, todos esos intentos por resolverlo llevaron al desarrollo de procedimientos matemáticos que podían aplicarse a varios tipos de problemas en el mundo real.

Y, curiosamente, estos no tenían nada que ver con cartografía.

Un área importante en la que la contribución del teorema de los cuatro colores es particularmente notoria es en el diseño de algunas de las redes aéreas y de transporte terrestre más complejas del mundo.

Cuatro colores son suficientes

Durante la mayor parte de un siglo, continuó atormentando al mundo de las matemáticas.

Finalmente, en 1976, los estadounidenses Kenneth Appel y Wolfgang Haken postularon una teoría innovadora, basada en una elaboración del trabajo de Kempe.

Corrigieron el error del matemático del siglo anterior y crearon a mano un 'conjunto inevitable' con más de 1.500 configuraciones de 4 colores que podían aplicarse a cualquier mapa.

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Image caption Probaron que todos los mapas se pueden simplificar hasta llegar a uno de los mapas inevitables, que podían colorearse con sólo 4 colores, y que si se podía con el sencillo, con el complicado también.

La revisión de su trabajo requirió 3.000 horas de tiempo de computadora.

Usando la máquina comprobaron que cada uno de esos mapas podían ser coloreados con solo 4 tonos.

Usando la tradicional lógica matemática, comprobaron que si tenías cualquier mapa había una manera de simplificarlo y si el mapa simplificado se podía colorear con 4 colores, el complicado también.

Es más: probaron que eventualmente siempre llegas a uno de esos mapas inevitables, que ya se sabía que solo requerían 4 colores, pues la computadora los había chequeado.

¿No se vale por computador?

Su 'Teorema de los cuatro colores' tuvo una recepción mixta.

Fue el primer caso espectacular en el que una computadora participó para probar un teorema matemático.

Sin embargo, los matemáticos de la vieja escuela de la época recibieron la "prueba de computadora" con sospecha, burla y consternación.

"Una buena prueba matemática es similar a un poema, ¡pero esto es una guía telefónica!", fue una de las críticas.

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Image caption ¿Se puede confiar en un resultado que no se puede verificar a mano?

Además el procedimiento planteó interrogantes filosóficos: ¿es realmente una prueba si no se puede verificar a mano?

La verificación independiente y la prueba del paso del tiempo han convencido a la mayoría de los escépticos de que Appel y Haken efectivamente habían logrado finalmente demostrar que la conjetura de ese estudiante de 1852 era cierta.

Pero para algunos puristas y románticos matemáticos, el enigma sigue siendo encontrar una solución no informática para este problema tan victoriano.

* Parte de este artículo está basado en un episodio de la serie de la BBC Simon Singh's Numbers

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