Зарядка для ума: натуральные делители

Подпишитесь на нашу рассылку ”Контекст”: она поможет вам разобраться в событиях.

Формулы в тетради

Автор фото, TASS

Испытайте себя и попробуйте разгадать эту загадку.

Во сколько раз у Петиного числа натуральных делителей больше, чем у Васиного?

Удачи!

Загадка:

Петя и Вася загадали натуральные числа, отличающиеся в 10 раз.

Оказалось, что количество натуральных делителей у числа Пети ровно в k раз больше, чем у числа Васи.

Чему может быть равно k?

Ответ

2, 3 или 4.

Решение:

Количество делителей у большего числа, очевидно, больше. С другой стороны, количества делителей чисел Пети и Васи не могут отличаться сильнее, чем в 4 раза (каждый делитель d числа n "порождает" не более трех новых делителей числа 10n: 2d, 5d, 10d). Осталось только убедиться, что все значения k=2, k=3 и k=4 могут получиться. Для этого достаточно привести примеры на каждое из значений.

1. n = 3. k = 4: у числа 3 - два делителя 1 и 3, а у числа 30 - восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.

(Замечание: легко показать, что для k = 4 необходимо и достаточно, чтобы n не делилось ни на 2, ни на 5.)

2. n = 5. k =3: у числа 5 - два делителя 1 и 5, а у числа 50 - шесть делителей: 1, 2, 5, 10, 25 и 30.

3. n = 20. k = 2: у числа 20 - шесть делителей 1, 2, 4, 5, 10 и 20, а у числа 200 - двенадцать: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200.

Автор загадки: Дмитрий Максимов

Другие загадки - здесь.