Zbog čega je broj 6174 misteriozan za matematičare

The number 6174, written down in multi-tone watercolours
Natpis na slici Šta je tako posebno u ovom broju

Pogledajte samo ovaj broj: 6174.

Na prvi pogled, ne deluje posebno - ali on intrigira matematičare i zaluđenike za brojeve još od 1949. godine.

Zašto? Uzmite ove fascinantne činjenice i uverite se sami:

  1. Izaberite četvorocifreni broj, bilo koji broj, sa najmanje dve različite cifre (uključujući nulu). Na primer, 1234
  2. Rasporedite cifre od najveće ka najmanjoj: 4321
  3. Sad ih složite od najmanje ka najvećoj: 1234
  4. Oduzmite manji broj od većeg: 4321 - 1234
  5. Sad ponovite korake 2, 3 i 4 sa brojem koji ste dobili

Uradimo to zajedno

  • 4321 - 1234 = 3087
  • Rasporedite cifre od najveće ka najmanjoj: 8730
  • Složite ih od najmanje ka najvećoj: 0378
  • Oduzmite manji broj od većeg: 8730 - 0378 = 8352
  • Ponovimo prethodna tri koraka sa brojem koji smo dobili

Sad, dakle, radimo sa 8352

  • 8532 - 2358 = 6174

I ponovimo to sa 6174 - složivši njegove cifre od najveće ka najmanjoj i od najmanje ka najvećoj i izvršimo oduzimanje dva dobijena broja

  • 7641 - 1467 = 6174

Kao što vidite, od ovog koraka nadalje ne vredi više nastavljati s ovim - uvek ćete dobiti istu operaciju i isti rezultat: 6174

U redu, možda ćete pomislite da je to samo slučajnost. Ajde onda da probamo to sa nekim drugim nasumičnim brojem. Šta kažete na 2005?

  • 5200 - 0025 = 5175
  • 7551 - 1557 = 5994
  • 9954 - 4599 = 5355
  • 5553 - 3555 = 1998
  • 9981 - 1899 = 8082
  • 8820 - 0288 = 8532
  • 8532 - 2358 = 6174
  • 7641 - 1467 = 6174

Ispostavlja se da bilo koji četvorocifreni broj da odaberete, pre ili kasnije stići ćete do 6174, a od tad pa nadalje operacija je uvek ista, s istim rezultatom.

Kaprekarova konstanta

Image copyright Getty Images
Natpis na slici Kaprekar je voleo brojeve i provodio je mnogo vremena igrajući se sa njima

Čestitamo, upoznali ste se sa Kaprekarovom konstantom.

Indijski matematičar Datatreja Ramčandra Kaprekar (1905-1986) voleo je da se igra s brojkama i tako je nabasao na misterioznu lepotu broja 6174.

D.R. Kaprekar - po vlastitom priznanju zavisnik od teorije brojeva - predstavio je svoje otkriće svetu na matematičkoj konferenciji održanoj u indijskom gradu Madrasu 1949. godine.

„Pijanica želi da nastavi da pije vino kako bi neprestano bio u tom prijatnom stanju. Ista stvar važi za mene kad su u pitanju brojevi", imao je običaj da kaže.

Kaprekar se školovao na Univerzitetu u Mumbaju i život proveo kao školski nastavnik u malom indijskom gradu Devlali, u brdima severno od Mumbaja.

Iako je njegovo otkriće naišlo na podsmeh i otpisivanje među indijskim matematičarima - za koje je njegov rad bio trivijalan i irelevantan - bio je produktivan autor, uglavnom u publikacijama o popularnoj nauci.

Često je bio pozivan i da učestvuje na konferencijama ili da govori u školama i na fakultetima o svojim neobičnim metodama i fascinantnim opservacijama o brojevima.

Ko se poslednji smeje...

Image copyright Getty Images
Natpis na slici Kaprekar rad postao je poznat širom sveta

Postepeno, Kaprekarove ideje su počele da uzimaju maha kod kuće i u inostranstvu - sedamdesetih godina američki autor bestselera i zaluđenik za matematiku Martin Gardner pisao je o njemu u časopisu za popularnu nauku Sajentifik Amerika (Scientific America).

Danas su Kaprekar i njegova otkrića priznati i proučavani među matematičarima širom sveta, naročito onim koji - poput njega - ne mogu da odole igranju sa brojevima.

Jutaka Nišijama, profesor na Univerzitetu ekonomije u Osaki, kaže: „Broj 6174 je zaista misteriozan broj".

U članku objavljenom u onlajn magazinu +plus, Nišijama objašnjava kako se „poslužio kompjuterom da proveri da li svi četvorocifreni brojevi na kraju udare u zid u vidu broja 6174 u ograničenom broju koraka."

Njegovo otkriće? Svi četvorocifreni brojevi, kod kojih sve cifre nisu iste, stignu do 6174 po Kaprakarovom metodu u najviše sedam koraka.

„Ako ne stignete do 6174 koristeći Kaprekarovu operaciju sedam puta, onda ste napravili grešku u računici i treba da probate ponovo!", kaže Nišijama.

Magični brojevi

Natpis na slici Ako se dovoljno dugo igrate sa brojevima, možete pronaći i druge specijalne brojeve - poput broja 495

U slučaju da se pitate koliko drugih „specijalnih brojeva" postoji... odgovor je... ne znamo tačno.

Ali ono što znamo jeste da postoji sličan fenomen Kaprekarovoj konstanti za trocifrene brojeve.

Otkrijmo ga. Mogli bismo da krenemo sa bilo kojim nasumičnim trocifrenim brojem, kao što je 574:

  • 754 - 457 = 297
  • 972 - 279 = 693
  • 963 - 369 = 594
  • 954 - 459 = 495
  • 954 - 459 = 495

I eto ga: „magični broj" je 495.

Matematičari kažu da se ove konstante dešavaju samo sa trocifrenim i četvorocifrenim brojevima, ali su se oni do sada igrali samo s onima između dvocifrenih i desetocifrenih.

6174, u tehnikoloru

Image copyright Getty Images
Natpis na slici Može li matematika postati atraktivnija?

Fondacija Scigram tehnolodžiz je indijska kompanija smeštena na jugu Mumbaja i razvija „platformu IT učenja" za ruralne i plemenske škole. Odlučila je da uzme broj 6174 i poigra se s ciframa i bojama.

Osnivač Giriš Arabale rekao je za BBC da je oduvek bio zainteresovan za motivisanje školske dece - naročite one koja mrzi matematiku - i želeo je da im pokaže da i tu ima zabave.

„Kaprekarova konstanta je jedna velika lepotica", kaže Arabale. „Kad sledite korake, dovedu vas do predivnog 'Aha! momenta'. Tako nešto se ne dešava baš često kad učite iz tradicionalnog školskog programa za matematiku."

Sa tim na umu, Arabaleov tim odlučio je da kodira bojama korake neophodne da se stigne do 6174 - uzimajući u obzir da ne treba nikad više od sedam operacija da se stigne do „magičnog" broja.

Natpis na slici Belo je nula, žuto - jedan... i tako dok ne dođete do crvenog: broja kom je potrebno sedam koraka da postane 6174

To je postala osnova za kod koji lako može da se rekonstruiše na Raspberi piu - jeftinom kompjuteru veličine kreditne kartice koji je popularna alatka u učenjima STEM-a (Nauka, tehnologija, inženjerstvo i matematika).

Potom studenti mogu da ga protumače koristeći jezik Volfram (opšti multi-paradigmatski kompjuterski jezik, dostupan besplatno na Raspberi piu) i upotrebe program na svakom od postojećih 10.000 četvorocifenih brojeva.

To stvara obrazac sa brojem koraka neophodnim da se stigne do 6174 i slaže ih na višebojnu koordinatnu mrežu.

Image copyright Scigram Technologies Foundation
Natpis na slici Da li vidite obrazac?

Jednom kad počnete da kodirate... šta biste videli kad biste neparne brojeve predstavili plavom a parne brojeve zelenom?

Image copyright Scigram Technologies Foundation
Natpis na slici Sada uporedite obrasce

A ako predstavite proste brojeve zelenom a ostale plavom? Da li se obrazac menja u značajnijoj meri?

Image copyright Scigram Technologies Foundation
Natpis na slici Prosti brojevi obojeni su zelenom, a ostali plavom

Rekreativna matematika

Image copyright Getty Images
Natpis na slici Ne postoji donja starosna granica za učenje matematike

Kaprekarova konstanta nije bila njegov jedini doprinos rekreativnoj matematici, koja igranje sa brojevima doživljava kao najbolji oblik zabave.

Možda ste čuli i za Kaprekarov broj: pozitivni broj sa odlikom da, kad se kvadrira, njegov rezultat može da se razdvoji u dva pozitivna broja čiji je zbir uvek jednak prvobitnom broju.

Možda će vam biti jasnije ovde na primeru:

  • 297² = 88,209
  • 88 + 209 = 297

Drugi dobri primeri Kaprekarovih brojeva su: 9, 45, 55, 99, 703, 999, 2,223, 17,344, 538,461... Isprobajte ih sami i vidite šta će se desiti!

Zapamtite: kad saberete brojeve koje dobijete, razdvojte broj cifara ravnopravno kad god je to moguće: jednocifreni broj plus jednocifreni broj; dvocifreni broj plus dvocifreni broj...

Ali ako broj koji dobijete kvadriranjem ne može da se razdvoji na dve brojke s istim brojem cifara, kao u primeru iznad (88.209 ima pet cifara), podelite ga tako da dobijete jedan dvocifreni i jedan trocifreni broj (88+209).

I, uzgred, dok to radite, možda biste voleli da znate da se to što radite zove Kaprekarova operacija.

Sad ste i vi postali profesionalac u rekreativnoj matematici.

Pratite nas na Fejsbuku i Tviteru. Ako imate predlog teme za nas, javite se na bbcnasrpskom@bbc.co.uk

Povezane teme

Više o ovoj priči