莫比乌斯带开辟的数学研究:奇妙的单侧曲面

. Image copyright Getty Images

日常生活中,单侧曲面的体随处可见,也许你已经找到过不少了——比如印刷在易拉罐和塑料瓶背面的那个循环利用的通用标识。

数学上有一种模型叫做莫比乌斯带 (Mobius strip)。自1858年被德国数学家莫比乌斯 (August Mobius) 提出以来,莫比乌斯带吸引了环境学家、艺术家、工程师、数学家等许多不同的人。

莫比乌斯于 1858 年提出了这一单侧曲面带状模型,当时他在莱比锡大学 (University of Leipzig) 担任天文学和高等力学教授。事实上,几个月前一位名叫李斯廷 (Listing)的数学家也提出过这一模型,但一直到1861年才发表。当时,莫比乌斯正致力于研究多面体(由顶点、棱和单面构成的立体图形)的几何理论,而莫比乌斯带似乎只是他的偶然发现。

莫比乌斯带可以这样制作:取一张纸条扭转任意奇数个半圈,然后用胶带将其两端粘贴在一起以形成一个环。如果用铅笔沿着带子的中心画一条线,你会发现这条线从一面延伸到了另一面。

Image copyright Getty Images
Image caption 自从 1858 年被人发现以来,莫比乌斯带吸引了艺术家、工程师以及许多不同的人。

单侧平面物体的概念启发了艺术家创作。比如荷兰单面设计师埃舍尔 (MC Escher),在木版画“莫比乌斯带 2(Mobius Strip II)”中,他呈现了红蚁一只接一只地沿着莫比乌斯带缓缓行进的情景。

莫比乌斯带令人惊艳的性质可不止这一个。例如,如果用剪刀沿着刚刚画的线将带剪开,你可能会吃惊地发现,眼前并没有出现两条窄了一半的莫比乌斯带,而是一条长长的双面环。如果手头没有纸条,也可以看看埃舍尔的作品“莫比乌斯带 1(Mobius Strip I)”。这幅作品呈现了沿着中心线将莫比乌斯带剪开后的情景。

莫比乌斯带有其视觉魅力,不过它影响最广的还是数学界:它助力推动了拓扑学整个领域的发展。

拓扑学家们致力于研究物体经过移动、弯曲、拉伸或扭转后,在不进行切割和黏合的前提下,保持不变的性质。例如,从拓扑的角度来看,一对缠绕在一起的耳塞和一对未缠绕在一起的耳塞是一样的,因为只需要经过移动、弯曲或者扭曲操作,无需切割、黏合,前后两者就能互相转变。

Image copyright Wikimedia Commons
Image caption 就连古代罗马人在其设计中都用到了类似莫比乌斯带的结构。

从拓扑学角度来说,咖啡杯和甜甜圈具有相同的结构。这是因为两者都只有一个孔,所以只需通过拉伸和弯曲就可以将其中一个变为另一个的形状。

孔是一种只能通过切割和黏合来实现数量增减的性质,这一性质叫做物体的“亏格” 。根据这一理论,我们可以这样说:甜甜圈有一个孔,耳塞没有孔,所以耳塞和甜甜圈的拓扑学结构不同。

然而,莫比乌斯单侧平面带和普通双面圆环(如硅酮制腕带)都只有一个孔,亏格理论却不能够在拓扑学结构上将两者区分开来。

另一种叫做“可定向性”的性质,能够将莫比乌斯带和普通双面环区分开来。与孔的数目一样,物体的可定向性只能通过切割和粘合来改变。

设想一下:在一透明曲面上写段话,然后在这一曲面上四处行走。一圈下来后,如果那段话还是如此,那么这一曲面是可定向的。如果一圈下来,文字已经变成了镜像,只能从右往左读,那就是不可定向的。不管怎么走,写在双面环上的文字永远都是从左往右读的。

莫比乌斯带具有不可定向性,双面环则是可定向的,因此莫比乌斯带和双面环的拓扑学结构不同。

可定向性的概念含义重大。以化学中的对应异构物为例:有些化合物具有相同的化学结构,但有很重要的一点不同:它们互为镜像。例如维克斯吸入器 (Vicks inhaler) 的一种成分L-甲基苯丙胺,它的镜像 D-甲基苯丙胺 是A 级违禁毒品。如果生活在不可定向性的世界中,这些化学物质将变得难以区分。

莫比乌斯的发现为研究自然科学开辟了新的道路,拓扑学研究不断取得惊世成果。例如去年,科学家通过拓扑学发现了物质的新状态;数学家文卡特什 (AkshayVenkatesh)将拓扑学与其他领域(如数论)融会贯通,也因此受颁今年数学界的最高奖项——菲尔兹奖。

请访问BBC Future阅读 英文原文

相关主题内容

更多有关此项报道的内容