莫比烏斯帶開闢的數學研究:奇妙的單側曲面

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日常生活中,單側曲面的體隨處可見,也許你已經找到過不少了——比如印刷在易拉罐和塑料瓶背面的那個循環利用的通用標識。

數學上有一種模型叫做莫比烏斯帶 (Mobius strip)。自1858年被德國數學家莫比烏斯 (August Mobius) 提出以來,莫比烏斯帶吸引了環境學家、藝術家、工程師、數學家等許多不同的人。

莫比烏斯於 1858 年提出了這一單側曲面帶狀模型,當時他在萊比錫大學 (University of Leipzig) 擔任天文學和高等力學教授。事實上,幾個月前一位名叫李斯廷 (Listing)的數學家也提出過這一模型,但一直到1861年才發表。當時,莫比烏斯正致力於研究多面體(由頂點、棱和單面構成的立體圖形)的幾何理論,而莫比烏斯帶似乎只是他的偶然發現。

莫比烏斯帶可以這樣製作:取一張紙條扭轉任意奇數個半圈,然後用膠帶將其兩端粘貼在一起以形成一個環。如果用鉛筆沿著帶子的中心畫一條線,你會發現這條線從一面延伸到了另一面。

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Image caption 自從 1858 年被人發現以來,莫比烏斯帶吸引了藝術家、工程師以及許多不同的人。

單側平面物體的概念啟發了藝術家創作。比如荷蘭單面設計師埃舍爾 (MC Escher),在木版畫「莫比烏斯帶 2(Mobius Strip II)」中,他呈現了紅蟻一隻接一隻地沿著莫比烏斯帶緩緩行進的情景。

莫比烏斯帶令人驚艷的性質可不止這一個。例如,如果用剪刀沿著剛剛畫的線將帶剪開,你可能會吃驚地發現,眼前並沒有出現兩條窄了一半的莫比烏斯帶,而是一條長長的雙面環。如果手頭沒有紙條,也可以看看埃舍爾的作品「莫比烏斯帶 1(Mobius Strip I)」。這幅作品呈現了沿著中心線將莫比烏斯帶剪開後的情景。

莫比烏斯帶有其視覺魅力,不過它影響最廣的還是數學界:它助力推動了拓撲學整個領域的發展。

拓撲學家們致力於研究物體經過移動、彎曲、拉伸或扭轉後,在不進行切割和黏合的前提下,保持不變的性質。例如,從拓撲的角度來看,一對纏繞在一起的耳塞和一對未纏繞在一起的耳塞是一樣的,因為只需要經過移動、彎曲或者扭曲操作,無需切割、黏合,前後兩者就能互相轉變。

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Image caption 就連古代羅馬人在其設計中都用到了類似莫比烏斯帶的結構。

從拓撲學角度來說,咖啡杯和甜甜圈具有相同的結構。這是因為兩者都只有一個孔,所以只需通過拉伸和彎曲就可以將其中一個變為另一個的形狀。

孔是一種只能通過切割和黏合來實現數量增減的性質,這一性質叫做物體的「虧格」 。根據這一理論,我們可以這樣說:甜甜圈有一個孔,耳塞沒有孔,所以耳塞和甜甜圈的拓撲學結構不同。

然而,莫比烏斯單側平面帶和普通雙面圓環(如硅酮制腕帶)都只有一個孔,虧格理論卻不能夠在拓撲學結構上將兩者區分開來。

另一種叫做「可定向性」的性質,能夠將莫比烏斯帶和普通雙面環區分開來。與孔的數目一樣,物體的可定向性只能通過切割和粘合來改變。

設想一下:在一透明曲面上寫段話,然後在這一曲面上四處行走。一圈下來後,如果那段話還是如此,那麼這一曲面是可定向的。如果一圈下來,文字已經變成了鏡像,只能從右往左讀,那就是不可定向的。不管怎麼走,寫在雙面環上的文字永遠都是從左往右讀的。

莫比烏斯帶具有不可定向性,雙面環則是可定向的,因此莫比烏斯帶和雙面環的拓撲學結構不同。

可定向性的概念含義重大。以化學中的對應異構物為例:有些化合物具有相同的化學結構,但有很重要的一點不同:它們互為鏡像。例如維克斯吸入器 (Vicks inhaler) 的一種成分L-甲基苯丙胺,它的鏡像 D-甲基苯丙胺 是A 級違禁毒品。如果生活在不可定向性的世界中,這些化學物質將變得難以區分。

莫比烏斯的發現為研究自然科學開闢了新的道路,拓撲學研究不斷取得驚世成果。例如去年,科學家通過拓撲學發現了物質的新狀態;數學家文卡特什 (AkshayVenkatesh)將拓撲學與其他領域(如數論)融會貫通,也因此受頒今年數學界的最高獎項——菲爾茲獎。

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