数字“0”的演变史:这可能和印度还有佛教都有关系

  • 马库斯·杜·桑托伊(Marcus du Sautoy)
  • BBC
An explosion of colours

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印度数学家的很多发现,比西方早了多个世纪。

和中国一样,印度在很久以前就发现了十进制的好处。

早在公元三世纪,印度人就已经在使用十进制。

他们当时的数字系统与我们今天所使用的一样,数字所在的位置表示数位:个、十、百、千、万……如此类推。

我们不知道他们是如何发展出十进制的,但是他们无疑对此进行了细化,使之更臻完美,为数字一到九在全世界范围内的使用奠定了基础。

然后,他们还发明了一个新的数字:0。

零不再等于“没有”

在已知史料当中,数字“零”最早有明确记载的使用是在九世纪,但是它很可能在那之前几百年就已经被人类所使用。

在印度中央邦的瓜廖尔堡(Gwalior Fortress)一个小寺庙的墙上,就记录着这样一个奇怪的数字。

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这座印度城堡当中的一座寺庙,就是目前已知最早使用数字“0”的地方。

因为它是数字“零”的所在地,于是也就成为了数学迷的一个朝圣地。

令人惊讶的是,在印度人记下这个数字之前,它并不存在。

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世界上最早的数字“0”,发现于印度寺庙的墙上。

在古埃及,在美索不达米亚,在古代中国,都存在着“零”这个概念,但当时都是以一个符号或者一个空白位置的形式存在。

真正将它变成一个有明确意义的数字的,是印度人。

是这一个概念性的飞跃,使人类数学发生了变革。

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在“减”去计数用的石子之后,地上就会留下一个类似圆圈的印记。

自此之后,以非常高效的方式组出天文数字成为了可能。

印度人如何想到了“0”的概念?

我们永远都无法确定这一点,但是有可能,这个概念以及用以表示“零”的符号,最初是来源于在地上用石子算数的计算方式。

当石子被拿开,沙土上就会有一个石子留下了圆形印记,代表了一种从有到无的过程。

但是,这个数字的发明,还有可能存在着文化上的原因。

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这个在佛教和印度教当中的神圣手印,在梵语当中就是代表虚无、开放和空间的意思。

关于“无”和“永恒”的概念,是古代印度人信仰体系当中的一部分。

在佛教和印度教的传播和教育当中,都信奉“无”的概念。

于是,一种热心信奉“无”之概念的文化,为“零”找到一个归宿,就不应该是一件令人惊奇的事。

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数字“0”的发明给数学带来了飞跃。

印度人甚至用梵语中一个用来表示哲学上“虚无”概念、读音为“shunya”的字,来表示这个新的数学概念。

从无到无穷

印度著名数学家婆多摩笈多(Brahmagupta)早在7世纪就展示过数字零的一些主要属性。

他的一些与零相关的基本规则,至今仍然在全世界的课堂上讲授。

1 + 0 = 1

1 - 0 = 1

1 x 0 = 0

不过,当婆多摩笈多用0去除1的时候,他就遭遇到了难题。

什么数字乘以0会等于1?

解答这个问题需要一个新的数学概念:无穷。

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无穷的概念帮助解决了以0作分母的数学问题。

只有这样才能让零作分母具备任何合理性。

而这一个进步也是一个印度数学家的功劳——巴斯卡拉(Bhaskara)在12世纪设计了这个概念。

再进一步

如果你将一个水平切成两半,你就有两块水果。

如果你将它切成三块,就有三块水果。

一直切下去的话就会是越来越多、越来越小的块。

最终,你会得到无穷多的块数。

巴斯卡拉就由此推理出,1除以0就是无穷大。

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最终,一切的除法都会达到无穷远。

不过,用0做的计算,还要比这更进一步。

如果我们接受3减去3等于0,那3减去4呢?

你似乎会什么都没有,但是印度人却意识到,那是一种新的“没有”:负数。

印度人之所以能够得出负数和零的概念,是因为他们从一开始就将这些理解成是抽象的概念。

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在印度人的信仰当中,数字是一个抽象概念。

数字不仅是用作计算和测量的工具,它们是有生命的,它们飘浮在宇宙中,不受制于摸得着的真实世界。

这样一种思路,带来了数学思想上的大爆炸。

X和Y

印度人对数学的抽象理解,为解决二次方程带来了新方法。

婆多摩笈多对于负数的理解让他看到,二次方程将永远有两种解决方法,其中一种可能是负数。

他进一步通过两个变量(X和Y)来解决方程式。

西方直到1657年才走出这一步——法国数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)提出了他的解答方法,但他不知道,他的印度同行在一千年前就已经找到了答案。

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费马在1657年“解决”了二次方程的问题。

婆罗摩笈多还为了表达这种等式计算而开发了一套新的语言。

在实验如何表达他的计算方法时,他用两种颜色名称的字头来代表两个变量。

于是就有了我们一直沿用至今的X和Y。

另一个无穷的数字

印度数学家们还研究了三角函数,并得出新发现。

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古代印度的天文学家通过三角函数计算出了地球、月球和太阳之间的距离。

我们都知道,是希腊人最先发展出了一套几何与代数之间互换的概念体系。

但是印度人将此往前推进了一步。

他们应用三角函数来研究他们周围的世界,包括航海和测量空间距离。

例如,印度数学家测量了地球与月球、地球与太阳之间的距离。

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π是数学当中一个重要的概念。

印度数学家还解出了数学领域里其中一个最神秘的数字:圆周率(π)。

π就是一个圆形的周长与直径之间的比率。

这个数字在所有数学计算当中都会用到,在工程与建筑当中尤其有用,因为每一种涉及弧线的测量都会用到π。

在很多个世纪里,数学家都在探索π的准确值。

到了六世纪,印度数学家阿耶波多(Aryabhata)得出了一个非常准确的估算值:3.1416

他也用这个值测量了地球的周长,得出的数值是39968公里——与我们今天所知道的40075公里非常接近。

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Pi准确值的计算方法,仍然被看作是由欧洲人取得的成就。

数学家马德哈瓦(Madhava)则发现,通过增加和减少分数,就可能确定Pi的精确值。

这是一个至今仍然在全世界很多大学里教授的公式,但人们往往认为它是在17世纪由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)发现的。