數字「0」的演變史:這可能和印度還有佛教都有關係

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Image caption 印度數學家的很多發現,比西方早了多個世紀。

和中國一樣,印度在很久以前就發現了十進制的好處。

早在公元三世紀,印度人就已經在使用十進制。

他們當時的數字系統與我們今天所使用的一樣,數字所在的位置表示數位:個、十、百、千、萬……如此類推。

我們不知道他們是如何發展出十進制的,但是他們無疑對此進行了細化,使之更臻完美,為數字一到九在全世界範圍內的使用奠定了基礎。

然後,他們還發明了一個新的數字:0。

零不再等於「沒有」

在已知史料當中,數字「零」最早有明確記載的使用是在九世紀,但是它很可能在那之前幾百年就已經被人類所使用。

在印度中央邦的瓜廖爾堡(Gwalior Fortress)一個小寺廟的牆上,就記錄著這樣一個奇怪的數字。

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Image caption 這座印度城堡當中的一座寺廟,就是目前已知最早使用數字「0」的地方。

因為它是數字「零」的所在地,於是也就成為了數學迷的一個朝聖地。

令人驚訝的是,在印度人記下這個數字之前,它並不存在。

Image caption 世界上最早的數字「0」,發現於印度寺廟的牆上。

在古埃及,在美索不達米亞,在古代中國,都存在著「零」這個概念,但當時都是以一個符號或者一個空白位置的形式存在。

真正將它變成一個有明確意義的數字的,是印度人。

是這一個概念性的飛躍,使人類數學發生了變革。

Image caption 在「減」去計數用的石子之後,地上就會留下一個類似圓圈的印記。

自此之後,以非常高效的方式組出天文數字成為了可能。

印度人如何想到了「0」的概念?

我們永遠都無法確定這一點,但是有可能,這個概念以及用以表示「零」的符號,最初是來源於在地上用石子算數的計算方式。

當石子被拿開,沙土上就會有一個石子留下了圓形印記,代表了一種從有到無的過程。

但是,這個數字的發明,還有可能存在著文化上的原因。

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Image caption 這個在佛教和印度教當中的神聖手印,在梵語當中就是代表虛無、開放和空間的意思。

關於「無」和「永恆」的概念,是古代印度人信仰體系當中的一部分。

在佛教和印度教的傳播和教育當中,都信奉「無」的概念。

於是,一種熱心信奉「無」之概念的文化,為「零」找到一個歸宿,就不應該是一件令人驚奇的事。

Image caption 數字「0」的發明給數學帶來了飛躍。

印度人甚至用梵語中一個用來表示哲學上「虛無」概念、讀音為「shunya」的字,來表示這個新的數學概念。

從無到無窮

印度著名數學家婆多摩笈多(Brahmagupta)早在7世紀就展示過數字零的一些主要屬性。

他的一些與零相關的基本規則,至今仍然在全世界的課堂上講授。

1 + 0 = 1

1 - 0 = 1

1 x 0 = 0

不過,當婆多摩笈多用0去除1的時候,他就遭遇到了難題。

什麼數字乘以0會等於1?

解答這個問題需要一個新的數學概念:無窮。

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Image caption 無窮的概念幫助解決了以0作分母的數學問題。

只有這樣才能讓零作分母具備任何合理性。

而這一個進步也是一個印度數學家的功勞——巴斯卡拉(Bhaskara)在12世紀設計了這個概念。

再進一步

如果你將一個水平切成兩半,你就有兩塊水果。

如果你將它切成三塊,就有三塊水果。

一直切下去的話就會是越來越多、越來越小的塊。

最終,你會得到無窮多的塊數。

巴斯卡拉就由此推理出,1除以0就是無窮大。

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Image caption 最終,一切的除法都會達到無窮遠。

不過,用0做的計算,還要比這更進一步。

如果我們接受3減去3等於0,那3減去4呢?

你似乎會什麼都沒有,但是印度人卻意識到,那是一種新的「沒有」:負數。

印度人之所以能夠得出負數和零的概念,是因為他們從一開始就將這些理解成是抽象的概念。

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Image caption 在印度人的信仰當中,數字是一個抽象概念。

數字不僅是用作計算和測量的工具,它們是有生命的,它們飄浮在宇宙中,不受制於摸得著的真實世界。

這樣一種思路,帶來了數學思想上的大爆炸。

X和Y

印度人對數學的抽象理解,為解決二次方程帶來了新方法。

婆多摩笈多對於負數的理解讓他看到,二次方程將永遠有兩種解決方法,其中一種可能是負數。

他進一步通過兩個變量(X和Y)來解決方程式。

西方直到1657年才走出這一步——法國數學家皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat)提出了他的解答方法,但他不知道,他的印度同行在一千年前就已經找到了答案。

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Image caption 費馬在1657年「解決」了二次方程的問題。

婆羅摩笈多還為了表達這種等式計算而開發了一套新的語言。

在實驗如何表達他的計算方法時,他用兩種顏色名稱的字頭來代表兩個變量。

於是就有了我們一直沿用至今的X和Y。

另一個無窮的數字

印度數學家們還研究了三角函數,並得出新發現。

Image caption 古代印度的天文學家通過三角函數計算出了地球、月球和太陽之間的距離。

我們都知道,是希臘人最先發展出了一套幾何與代數之間互換的概念體系。

但是印度人將此往前推進了一步。

他們應用三角函數來研究他們周圍的世界,包括航海和測量空間距離。

例如,印度數學家測量了地球與月球、地球與太陽之間的距離。

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Image caption π是數學當中一個重要的概念。

印度數學家還解出了數學領域裏其中一個最神秘的數字:圓周率(π)。

π就是一個圓形的周長與直徑之間的比率。

這個數字在所有數學計算當中都會用到,在工程與建築當中尤其有用,因為每一種涉及弧線的測量都會用到π。

在很多個世紀裏,數學家都在探索π的凖確值。

到了六世紀,印度數學家阿耶波多(Aryabhata)得出了一個非常凖確的估算值:3.1416

他也用這個值測量了地球的周長,得出的數值是39968公里——與我們今天所知道的40075公里非常接近。

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Image caption Pi凖確值的計算方法,仍然被看作是由歐洲人取得的成就。

數學家馬德哈瓦(Madhava)則發現,通過增加和減少分數,就可能確定Pi的精確值。

這是一個至今仍然在全世界很多大學裏教授的公式,但人們往往認為它是在17世紀由德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)發現的。

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